Волны Лява

Описание

В слоистых средах возможно возникновение определенных типов волн - волн Лява. Вектор смещения у таких волн параллелен границе раздела сред и перпендикулярен направлению распространения, т. е. волны Лява имеют горизонтальную поляризацию. В отличии от волн Рэлея, возникающих в одном полупространстве со свободной границей, волны Лява возникают в структурах типа упругий слой на упругом полупространстве. Теорию этих волн дал Ляв в 1911 г., именем которого они и названы.

Получить выражение для скорости волны в явном виде проблематично, определим волну по косвенным признакам, и проверим что соотношение скорости и длинны волны удовлетворяют уравнению волны Лява. Обозначим через скорость распространения волны Лява. Тогда для нее выполнено соотношение:

(5)

где и - поперечные скорости звука для верхнего слоя и полупространства соответственно. Отсюда в частности следует, что для существования волн Лява необходимо, чтобы поперечная скорость звука в веществе слоя была меньше поперечной скорости звука в веществе полупространства. Также, в отличии от волн Рэлея, волны Лява обладают дисперсией, т. е. зависят от частоты и не сохраняет форму импульса. Амплитуда волны в полупространстве затухает по экспоненте.

Обозначим через - толщину верхнего слоя, - угловая частота волны Лява, . Тогда конечное число волн Лява (количество возможных гармоник) в поверхностном слое определяется соотношением:

(6)

здесь означает целую часть числа . Подставив в (6) выражение для и , а также с учетом того, что , здесь - длина волны Лява, получим:

(7)

Выпишем уравнение, определяющее свойства поверхностных волн Лява:

(8)

здесь , - упругие постоянные Ламе для полупространства и слоя соответственно, , . Данное уравнение определяет соотношение между скоростью и длинной волны Лява.

Результаты моделирования

Основной целью моделирования было получение волн Лява в приповерхностном слое и по косвенным признакам, описанным выше, определить, действительно ли полученная волна является волной Лява.

Расчетная область представляла собой два параллелепипеда, представляющие верхний слой и нижнее полупространство, их размеры 1500 500 50 м ( = 50 м) и 1500 500 150 м, соответственно по осям , и . На верхней грани слоя по оси было выставлено граничное условие свободной границы, на других гранях слоя и полупространства устанавливалось граничное условие поглощения. Между слоем и полупространством установлено условие контактной границы. Шаг сетки был равен 10 м, число узлов в сетке - около 170 тыс. Шаг интегрирования по времени был выбран исходя из выполнения условия Куранта, в данном тесте он равен 0,001615 с. На рис. 1 представлена расчетная область и зона задания начального возмущения. Во всей области изначально задавалась нулевая скорость и напряжения, а на границе верхнего слоя по оси задается небольшое возмущение скорости. Вектор скорости направлен по оси , величина возмущения - 0,001 м/с.

Рис. 1. Расчетная область при моделировании волн Лява

В расчете использовались следующие параметры среды (индекс 1 относится к верхнему слою, 2 - к полупространству): м/с, м/с, м/с, м/с, кг/м. На рис. 2 представлено сечение проходящее через середину расчетной области, параллельно осям и и перпендикулярно оси . Цветом отображены -компоненты скорости для моментов времени 0,258, 0,347, 0,436 и 0,525 с.

Рис. 2. Распространение волны Лява: a) с, b) с, c) с, d) с

Как видно из графиков полученная волна обладает горизонтальной поляризацией, очень быстро затухает в полупространстве. Распространение происходит вдоль поверхностного слоя. По мере распространения форма импульса меняется. Несложно посчитать скорость полученной волны: м/с, как видно она удовлетворяет соотношению (5).

Для более подробного исследования приведем одномерные графики компоненты скорости среды вблизи поверхности слоя, вдоль оси для аналогичных моментов времени, они отображены на рис. 3.

Рис. 3. Компонента скорости среды у поверхности слоя: a) с, b) с, c) с, d) с

На графиках значение компонент и не отображены, поскольку они практически нулевые. Наблюдается только возмущение компоненты скорости. На протяжении всего времени расчета хорошо виден один период волны, несмотря на то, что форма импульса меняется. Длинна полученной волны порядка м, что видно из графика.

Подставив в формулу (7) полученные значения скорость распространения, длину волны и параметры расчетной среды получим число волн Лява: , это говорит о том, что должна существовать только одна гармоника и уравнение (8) имеет только один действительный корень.

Уравнение (8) трансцендентное, и получить в явном виде значение для угловой частоты волны Лява невозможно. Найдем приближенное значение угловой частоты волны Лява из уравнения графически, предварительно подставив в него параметры упругих сред слоя и полупространства и полученное значение скорости волны Лява. Графики левой и правой частей уравнения (8) представлены на рис. 4.

Рис. 4. Определение угловой частоты волны Лява

По оси отложено значение - угловая частота волны Лява. Данные графики пересекаются в одной точке и на рисунке представлена только часть графиков в соответствующем масштабе. То, что данное уравнение имеет один корень хорошо соотносится с полученным ранее результатом. Как видно из графика значение угловой частоты порядка Гц. Ранее уже было получено значение длинны волны Лява м, отсюда получим экспериментальное значение частоты: Гц. Видно, что теоретическое значение отличается от экспериментального не более, чем на 10%.

На основе всех вышеизложенных результатов, можно сказать что полученная в расчете волна, действительно является волной Лява.